过抛物线y=x^的顶点作互相垂直的两弦OA和OB

分析与解答：循着求动直（曲）线交点轨迹方程的一般思路，设A（x1，x12），B（x2，x22），C（x，y），由OA⊥OB得

x1x2＝－1．①

以OA为直径的圆的方程为

x（x－x1）＋y（y－x12）＝0，即

x2＋y2－x1x－x12y＝0．②

同理，以OB为直径的圆的方程为

x2＋y2－x2x－x22y＝0．③

至此，欲消参数x1、x2，探索中容易想到两式相减．

②－③，得x1＋x2＝－x/y．④

下一步如何动作？至此往往陷入困境．此时，循着辩证思维的途径，由加与减的相互依存，想到再考察②、③两式相加，则局面由此打开．

解法1．②＋③，得2（x2＋y2）－（x1＋x2）x－（x12＋x22）y＝0，

2（x2＋y2）－（x1＋x2）x－〔（x1＋x2）2－2x1x2〕·y＝0．⑤

将①、④代入⑤并整理，得

x2＋y2－y＝0（y≠0）．

故C点的轨迹方程为

x2＋（y－1/2）2＝1/4（y≠0）．

设直线AB的方程为
y=kx+b (1)
A(x1,y1) B(x2,y2)
y=x^2 (2)
将（1）代入（2）得
x^2-kx-b=0
x1*x2=-b
则y1*y2=b^2
因为OA垂直OB
所以x1x2=-y1y2
-b=-b^2
b=0或b=1
当b=0时直线AB与抛物线只有一个交点（舍去）
所以直线方程为
y=kx+1
当x=0 y=1时与k无关
所以直线AB过定点（0,1）

以OA为直径的圆的方程为
x(x-x1)+y(y-y1)=0
即x^2-x1x+y^2-y1y=0 (3)